Caso aplicado · Módulo 3 · Unidad 10

Enfoque guía: Integración y ecuaciones diferenciales

¿Cuánto Cu “acumuló” el turno y cuánto tarda la planta en volver al régimen estable?

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Módulo 3 — Cálculo y optimización · Unidad 2 de 4

Caso flotación Cu · Módulo 3 · Unidad 10

Integración y ecuaciones diferenciales

Acumular recuperación en el tiempo y modelar la respuesta después de un evento de espuma

Idea central

Derivada (unidad 9): velocidad de cambio hora a hora. Integral: cuánto se acumuló en un turno. EDO: regla de evolución — ¿cuánto tarda la recuperación en volver cerca del régimen estable tras sobre-espumación?

Tras un pico de espuma (ej. 08:00 del CSV: rec. 77,8 %, evento=1), la recuperación puede repuntar en la hora siguiente (86,1 %). Eso es una trayectoria en el tiempo.

1. Integración — recuperación acumulada

Recuperación horaria R(t) en %. Para un turno de 8 h, una aproximación práctica (regla trapezoidal):

∫ R(t) dt ≈ Σ (R_i + R_i+1) / 2 · Δt

Demo primeras 24 h: suma trapezoidal ≈ 1943 (unidades hora·%); media ≈ 84,4 %.

Concepto	En planta
Integral de R(t)	Desempeño acumulado del turno (proxy educativo)
Δt = 1 h	Datos del CSV horarios
Evento espuma	Área bajo curva cae — pierdes Cu al relave

2. EDO de primer orden (modelo educativo)

Ingeniería de procesos suele aproximar respuestas con:

dR/dt = k · (R* − R)

R = recuperación actual · R* = objetivo/régimen estable · k = velocidad de respuesta.

Demo: media sin evento R* ≈ 86,4 %. Tras caída a 77,8 %, la planta “tira” hacia R* con velocidad proporcional al error.

Solución: R(t) = R* − (R* − R₀) · e^(−k·t) Si k ≈ 0,5 h⁻¹: a t=2 h recuperaste ~63 % del gap hacia R* Semáforo operativo: ¿volvió a banda verde antes del próximo turno?

Prototipo educativo: en planta real calibrar k con histórico y validar con metalurgia. No usar para setpoints automáticos sin supervisión.

3. Excel

CSV demo — columna recuperacion_cu_pct, fecha_hora.

3.1 Acumulado simple

=' Suma móvil acumulada (8 h):
=SUMA(G2:G9) / 8    ' media turno A día 1

=' Trapecio entre dos horas:
=(G2+G3)/2

3.2 Euler explícito (1 paso EDO)

=' R_nuevo = R + k * (R* - R) * dt
= R_actual + 0.5 * (86.4 - R_actual) * 1

4. Python

import pandas as pd

df = pd.read_csv("datos_flotacion_demo.csv")
r = df["recuperacion_cu_pct"].values

# Trapecio total
area = sum((r[i]+r[i+1])/2 for i in range(len(r)-1))
print("Integral aprox (hora·%):", round(area, 1))

# EDO Euler: 6 pasos desde hora con evento
R_star = df.loc[df["sobre_espumacion"]==0, "recuperacion_cu_pct"].mean()
R = float(df.loc[df["sobre_espumacion"]==1, "recuperacion_cu_pct"].iloc[0])
k, dt = 0.5, 1.0
for _ in range(6):
    R = R + k * (R_star - R) * dt
    print("R ->", round(R, 1))

5. Proyección ML

Series de tiempo (LSTM, Prophet): aprenden la dinámica sin escribir la EDO a mano.
Control predictivo: integra modelo + restricciones de actuadores.
Soft sensor con lag: features integradas (Σ rec últimas 6 h).

6. Investigación sugerida

Grafica R(t) para un día con evento. Estima k a ojo: ¿cuántas horas para volver a 85 %?

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