Caso aplicado · Módulo 3 · Unidad 09

Enfoque guía: Derivadas parciales y gradiente

Si muevo espumante, aire o pH, ¿en qué dirección cambia más la recuperación?

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Módulo 3 — Cálculo y optimización · Unidad 1 de 4

Caso flotación Cu · Módulo 3 · Unidad 9

Derivadas parciales y gradiente

De y = Xβ al vector ∇f — ¿qué palanca mueve más el KPI?

Puente desde la unidad 8

En transformaciones lineales estimaste recuperación con y = Xβ. Cada β_i ya es una derivada parcial: cuánto cambia la recuperación si sube 1 unidad la variable i (ceteris paribus).

Pregunta operativa (sobre-espumación): ante inestabilidad, ¿hacia dónde conviene mover dosificación, aire o pH para recuperar recuperación sin empeorar espuma?

Gradiente: el vector que apunta hacia la máxima subida de la función. En planta: prioriza palancas con mayor sensibilidad local.

1. Matemática simple

Función de varias variables (soft sensor lineal del demo):

f(x) = β₀ + β₁·pH + β₂·P80 + β₃·aire + β₄·espumante + β₅·nivel + β₆·ley_cabeza

Derivada parcial ∂f/∂x_i = β_i (modelo lineal). Gradiente:

∇f = (∂f/∂pH, ∂f/∂P80, ∂f/∂aire, ∂f/∂espumante, ∂f/∂nivel, ∂f/∂ley)

Coeficientes = derivadas parciales (demo n=120)

Variable	∂f/∂x = β	Lectura en flotación
pH	+0,99	+1 pH → ~+1,0 pp recuperación (demo)
P80	−0,02	Efecto leve
Flujo de aire	−0,06	Más aire → leve baja (lineal demo)
Espumante	−0,27	Más espumante → baja recuperación
Nivel celda	−0,10	Nivel alto → baja rec.
Ley cabeza	+0,11	Más Cu en feed → sube rec.

En el punto medio del histórico: recuperación estimada ≈ 85,3 % · ‖∇f‖ ≈ 1,04 · R² ≈ 0,79.

Derivada vs correlación: la pendiente espumante–recuperación cruda en el CSV es ≈ −0,46 (mezcla efectos). La parcial β_esp ≈ −0,27 controla las otras variables — más honesta para decidir.

2. Caso planta — priorizar palancas

Orden de magnitud de sensibilidad (|β|) en el demo:

1º pH |β| ≈ 0,99 → mayor palanca lineal (validar metalúrgicamente) 2º Espumante |β| ≈ 0,27 → coherente con sobre-espumación 3º Ley cabeza |β| ≈ 0,11 4º Nivel |β| ≈ 0,10 5º Aire |β| ≈ 0,06

Si la hora actual tiene espumante alto y recuperación cayendo, la parcial negativa dice: reducir espumante mueve f en sentido favorable (en el modelo lineal educativo).

3. Excel

Dataset: datos_flotacion_demo.csv — descargar CSV demo.

3.1 Pendiente parcial (una variable)

=PENDIENTE(G2:G121; N2:N121)   ' rec vs espumante (sin controlar otras)
=INDICE(LINEST(G2:G121; H2:M121; VERDADERO; VERDADERO); 1; 4)  ' β espumante

3.2 Cambio marginal estimado

=' Si espumante sube 2 mL/min:
= 2 * (β_espumante)   ' ≈ 2 * (-0,27) ≈ -0,54 pp recuperación

4. Python

import pandas as pd
import numpy as np

features = ["ph","p80_um","flujo_aire","dosif_espumante_ml_min",
            "nivel_celda_pct","ley_cabeza_cu_pct"]
df = pd.read_csv("datos_flotacion_demo.csv")
X = df[features].values
y = df["recuperacion_cu_pct"].values

# Diseño con intercepto
X1 = np.c_[np.ones(len(X)), X]
beta, *_ = np.linalg.lstsq(X1, y, rcond=None)
grad = beta[1:]  # derivadas parciales
print("Gradiente:", dict(zip(features, grad.round(3))))
print("||grad||:", round(np.linalg.norm(grad), 3))

5. Proyección ML

Backpropagation propaga gradientes capa a capa.
Feature importance local: SHAP usa idea similar a sensibilidad.
Modelo no lineal: ∇f cambia en cada punto — no basta un β fijo.

6. Investigación sugerida

Elige 1 hora con sobre_espumacion=1. Calcula ∇f en ese punto (usa β del histórico). ¿Qué variable moverías primero y por qué?

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